幂级数与解析函数
收敛半径
把幂级数想象成从中心发出的广播信号。靠近中心时信号强,级数收敛;离得太远时信号崩溃,级数发散。收敛半径衡量这种良好行为能延伸多远——即从中心到收敛最终失效之处的距离。
确切地说,对幂级数 sum c_n (x - a)^n,存在一个数 R 属于 [0, 无穷],称为收敛半径,具有如下性质:当 |x - a| < R 时级数绝对收敛,当 |x - a| > R 时级数发散。允许 R = 0(仅在中心收敛)和 R = 无穷(处处收敛)两种情形。集合 |x - a| < R 在实轴上是收敛开区间,在复平面上则是收敛开圆盘。
收敛半径完全由系数决定,可经柯西-阿达马公式求得。但收敛半径不能告诉你:在边界 |x - a| = R 上究竟会发生什么——在那里级数可能在某些点收敛、在另一些点发散,没有任何统一规则能涵盖所有情形。这些端点必须逐个考察。
对 sum x^n / n,比值判别法给出 |x| < 1,故 R = 1。在 x = 1 处它是调和级数(发散);在 x = -1 处它是交错调和级数(收敛)。半径相同,端点行为却相反。
半径为 1,但两端点行为各异。
为何是半径而非某种古怪形状?因为在某一点的绝对收敛会迫使每个更近的点也收敛(阿贝尔引理):若 sum c_n z^n 收敛,则各项有界,用几何比较即可处理所有更小的 |x|。正是这种对称性产生了圆形区域。
另见