幂级数与解析函数
收敛区间
如果说收敛半径告诉你良好行为区域有多宽,那么收敛区间就是你实际被允许代入的实数自变量清单。它由半径给出的开区域,再加上对两个端点各自是否纳入的最终裁定组成。
对半径为 R 的实幂级数 sum c_n (x - a)^n(设 0 < R < 无穷),收敛区间是 (a - R, a + R)、[a - R, a + R)、(a - R, a + R] 或 [a - R, a + R] 这四种区间之一,取决于级数在左端点 a - R、右端点 a + R、二者皆收敛还是皆不收敛。当 R = 无穷时区间是整条实轴;当 R = 0 时区间只是单点 {a}。
确定区间分两步。先求 R,通常用比值或根值判别法,这就解决了开区间内的一切。然后分别检验每个端点:把它代入并应用普通的级数判别法——交错级数判别法、比较判别法、p-级数等等。两端点是真正独立的:级数可以在一端收敛而在另一端发散。
级数 sum x^n / n^2 有 R = 1。在 x = 1 处它是 sum 1/n^2 = pi^2/6(收敛);在 x = -1 处它是 sum (-1)^n / n^2(绝对收敛)。故收敛区间是闭区间 [-1, 1]。
一个闭收敛区间:两端点都包含。
另见