阿贝尔定理

幂级数在其收敛区间内部安全地定义了一个函数。但最边缘处——端点——又如何呢?那里的收敛十分微妙。若级数恰好在该处也收敛,它所求得的函数是否与你从内部趋近时的极限相符?阿贝尔定理回答:是的,函数平滑地衔接到它的端点值,没有任何跳跃。

表述:设 sum c_n 收敛(收敛到 S)。则幂级数 f(x) = sum c_n x^n 的收敛半径至少为 1,且满足 lim_{x->1^-} f(x) = S。换言之,若级数在边界点 x = 1 处收敛,则其和等于 f 当 x 从内部沿左侧趋近 1 时的极限。经重新缩放后,在任一端点处同样成立。

该定理的价值在于:它让你能通过计算一个已知函数的极限来求出某级数之和。其逆命题为假且重要:即便 sum c_n 发散,f(x) 当 x -> 1^- 时仍可能有极限(例如 sum (-1)^n 对应 f(x) = 1/(1+x) -> 1/2,而级数并不收敛)。要从极限的存在反推级数的收敛,需要额外的假设——那便是陶伯型定理。