幂级数

幂级数就像一个长度无限的多项式：它不在某个最高次项处停下，而是不断加入 a_0、a_1 x、a_2 x^2、a_3 x^3 等等，永无止境。每一项都是变量比上一项再高一次幂，再乘以一个称为系数的数。许多熟悉的函数——指数函数、正弦、余弦、对数——其实都是伪装成无穷多项式的形式。

形式上,以点 a 为中心的幂级数是形如 sum_{n=0}^无穷 c_n (x - a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + ... 的级数,其中 c_n 是固定的实数(或复数),x 是变量。数 a 称为中心,c_n 称为系数。对每个固定的 x,这都是一个普通的无穷级数,因此它要么收敛到某个数,要么发散。

关键事实是:使级数收敛的 x 的集合从不是任意的——它在实数情形下总是一个以 a 为中心的区间,在复数情形下则是一个圆盘,可能还附带一些边界点。在这个区域内部,级数定义了一个函数,而这个函数光滑且性质良好到无以复加。因此幂级数既是(对每个 x 而言的)一个数项级数,又是逐项构造函数的配方。