泰勒级数

假设你了解某函数在单独一点 a 处的一切——它的值、斜率、曲率、曲率的变化率,直至所有阶导数。泰勒级数就是仅凭这些局部数据重建整个函数的尝试:构造一个幂级数,其系数恰好就是这些导数。

给定在 a 处无限可微的函数 f,其以 a 为中心的泰勒级数为 sum_{n=0}^无穷 f^{(n)}(a)/n! (x - a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)/2! (x-a)^2 + ...。第 n 个系数是 a 处的 n 阶导数除以 n 的阶乘。每个部分和都是一个泰勒多项式,即该次数下在 a 附近的最佳多项式逼近。

当心一个微妙的陷阱:对光滑函数而言写出泰勒级数总是可行的,但该级数未必收敛到 f,即便它确实收敛也可能如此。f 是否等于其泰勒级数由泰勒余项是否趋于零所支配,而确实存在某些光滑函数,其在某点的泰勒级数收敛到错误的答案。在每一点附近都等于自身泰勒级数的函数,称为实解析函数。