系数公式

如果某函数恰好是一个幂级数之和,你能否伸手进去逐个读出它的系数?可以——而且有一个简洁的公式。诀窍在于:每个系数恰好与中心处的某一阶导数挂钩,因此求导适当的次数再代入,就能提取出你想要的系数。

表述:若在 a 附近某区间上 f(x) = sum_{n=0}^无穷 c_n (x - a)^n,则逐项求导 n 次后令 x = a,除第 n 项外的每一项都被消去,得到 f^{(n)}(a) = n! c_n。解出系数即 c_n = f^{(n)}(a)/n!。这正是为什么 f 的幂级数必然是它的泰勒级数:系数是被迫的,而非自由的。

该公式之所以成立,是因为在收敛半径内逐项求导是合法的,而在 x = a 处 (x - a) 的所有正次幂都化为零,从而孤立出单独一项。同样的逻辑表明常数项是 c_0 = f(a)。在复分析中,系数有一个平行的积分公式(柯西公式),它有时能在求导不便时仍把系数恢复出来。