幂级数的唯一性

同一个函数能否围绕同一中心写成两个真正不同的幂级数?令人安心的是:不能。函数完全锁定了它的幂级数系数——展开的方式恰有一种。这正是使待定系数法成为合法手段的原因:若两个幂级数表示同一个函数,你便可逐项令它们相等。

表述:若在 c 附近某区间上(甚至在以 c 为聚点的某个集合上)对所有 x 有 sum a_n (x - c)^n = sum b_n (x - c)^n,则对每个 n 有 a_n = b_n。由系数公式立即可证:两边有相同的和函数 f,而每个系数都必等于 f^{(n)}(c)/n!,故二者一致。等价地说,和为零函数的幂级数只有系数全为零的那一个。

一个更锐利的版本支撑着解析函数的同一性定理:若一个有正半径的幂级数在某个带有圆盘内聚点的集合上为零,则它的所有系数都为零。这种刚性极为戏剧化——在一小簇点上相等,就迫使两个解析函数在它们共同定义且连通之处处处相等,而这一性质对仅仅光滑的函数并不成立。