实解析函数

有些函数良好到这样的程度:在任意一点附近,它们就是自身的幂级数——不只是被它逼近,而是在一个小区间上与之严格相等。这些就是实解析函数,实轴上光滑性的黄金标准。多项式、指数函数、正弦、余弦及其组合都属于这一精英行列。

确切地说,定义在开集上的函数 f 是实解析的,如果对集合中每一点 a 都存在半径 r > 0 与系数 c_n,使得对所有满足 |x - a| < r 的 x 有 f(x) = sum_{n=0}^无穷 c_n (x - a)^n。这些系数必然就是泰勒系数 f^{(n)}(a)/n!,所以解析意味着每一点处的泰勒级数确实收敛回到该函数。

实解析性严格强于光滑性(无限可微)。每个解析函数都是光滑的,但反之不然:存在某些光滑函数在某点不解析,因为其泰勒级数虽有定义却不能表示它们。解析函数还具有刚性——在一个微小区间上了解它,就能确定它在所有可延拓之处的值,这一现象在解析延拓中得到探讨。