幂级数与解析函数
逐项运算
幂级数的一大便利在于:在其收敛半径内部,你几乎可以把它当作长多项式来处理:要对整个级数求导或积分,只需对每一项求导或积分,再把结果相加。这个无穷和的表现就如同有限和——但仅限于它收敛的圆盘之内。
定理:若 f(x) = sum_{n=0}^无穷 c_n (x - a)^n 的收敛半径 R > 0,则 f 在 (a - R, a + R) 上可微,且其导数可逐项求得:f'(x) = sum_{n=1}^无穷 n c_n (x - a)^{n-1}。求导后的级数具有相同的半径 R。同理,逐项积分给出在同一开区间上有效的原函数。反复施行可知 f 在该处无限可微。
其理据在于:幂级数在严格位于其半径之内的每个闭子区间上一致收敛,而一致收敛恰恰是允许交换极限与求导/积分的条件。关键限制是:这只在半径之内被允许。在边界上,或对一般的(非幂)级数,逐项求导可能严重失效——此时必须检验求导后级数的一致收敛性。
对 1/(1-x) = sum x^n 逐项求导得 sum_{n>=1} n x^{n-1} = 1/(1-x)^2,在 |x| < 1 上有效——半径相同。对 sum (-1)^n x^n = 1/(1+x) 逐项积分得 log(1+x) = sum (-1)^n x^{n+1}/(n+1)。
对幂级数逐项求导与积分。
另见