逐项积分

把无穷和逐块积分再相加，是个诱人的做法：integral of (sum f_n) = sum of (integral of f_n)。这恰好是交换求和（部分和的极限）与积分（也是一种极限）的次序。这种交换是合法的——但需要某个假设，而一致收敛是允许它的一个干净假设。

定理（序列形式）：若 f_n 在 [a, b] 上黎曼可积，且 f_n 在 [a, b] 上一致收敛到 f，则 f 黎曼可积，且 f_n 在 [a,b] 上的积分收敛到 f 的积分。级数形式：若 sum f_n 的部分和在 [a, b] 上一致收敛，且每个 f_n 可积，则 sum f_n 在 [a,b] 上的积分等于各 f_n 在 [a,b] 上积分之和。

为何一致收敛足够：|integral of f_n - integral of f| <= integral of |f_n - f| <= (b - a) 乘以 sup 关于 [a,b] 的 |f_n - f|，而右端随 n -> infinity 消失。诚实的提醒：这个假设不能随便丢掉。仅在逐点收敛下，积分可能不收敛到极限的积分——一个著名的失败，在更强大的勒贝格理论中由控制收敛定理与单调收敛定理修复。