一致收敛保持积分

下面这条精确陈述，让你能把极限符号滑进黎曼积分内部：若函数在一个有界闭区间上一致收敛，则它们积分的极限等于它们极限的积分。f_n 下方的面积稳步走向 f 下方的面积，因为一致收敛不让任何面积在某个孤立点处漏掉。

定理：设 f_n 在 [a, b] 上黎曼可积，并设 f_n 在 [a, b] 上一致收敛到 f。则 f 在 [a, b] 上黎曼可积，且 lim_{n->infinity} f_n 在 [a,b] 上的积分 = f 在 [a,b] 上的积分 = (lim_n f_n) 在 [a,b] 上的积分。其背后的估计很短：|integral of f_n - integral of f| <= integral over [a,b] of |f_n - f| <= (b - a) sup 关于 [a,b] 的 |f_n - f| -> 0。

两个注意点值得直说。其一，一致性是充分而非必要的——许多积分可过极限的序列并不一致收敛，而勒贝格收敛定理（控制、单调）能处理远多的情形。其二，区间必须有限：在无界区间上因子 (b - a) 是无穷，仅凭一致收敛并不能迫使积分收敛，因为质量可以逃逸到无穷远。