逐项微分

对级数逐项微分——(sum f_n)' = sum f_n'——看似逐项积分的天然兄弟，却危险得多。微分会放大摆动，所以 f_n 本身一致收敛并不够。必须把收敛要求加在导数上，这是一个严格更强的条件。

定理：设每个 f_n 在区间 [a, b] 上可微，导数 f_n' 在 [a, b] 上一致收敛，且仅在某一点 x_0 处 f_n(x_0) 收敛。则 f_n 在 [a, b] 上一致收敛到一个可微函数 f，且对每个 x 有 f'(x) = lim f_n'(x)。级数形式：若 sum f_n' 一致收敛且级数在某一点收敛，则 sum f_n 收敛到一个可微的和，其导数为 sum f_n'。

假设之所以一边倒，是因为：积分使函数变光滑，微分使函数变粗糙。一个经典警示例子是 f_n(x) = sin(nx)/sqrt(n)：它们一致收敛到 0（sup = 1/sqrt(n) -> 0），然而 f_n'(x) = sqrt(n) cos(nx) 根本不收敛。所以即便函数本身一致收敛，也不能告诉你其导数的极限——你必须直接对导数加以控制。