泰勒定理

切线是曲线的一条直线替身，只在接触点附近才精确。泰勒定理对此加以升级：不用直线，而用一个多项式，它不仅匹配函数值与斜率，还匹配曲率以及更高的弯曲。你匹配的导数越多，多项式跟随真实函数的距离就越长——而关键在于，该定理精确告诉你剩余的误差能有多大。

陈述：若 f 在 a 处 n 次可微（且较低阶导数在 a 附近有适当的连续性），则 f(x) = P_n(x) + R_n(x)，其中 P_n(x) = sum_{k=0}^{n} (f^(k)(a)/k!) (x - a)^k 是 a 处的 n 次泰勒多项式，R_n(x) 是余项。该多项式是在 a 处与 f 的函数值及前 n 阶导数都相符的唯一 n 次多项式；当 x -> a 时余项 R_n(x) 比 (x - a)^n 更快地趋于 0。

该定理并非断言 f 等于其泰勒多项式——一般而言并不相等，全部内容都在于控制 R_n。余项有明确的形式（拉格朗日、柯西、积分形式），拉格朗日形式为 R_n(x) = (f^(n+1)(xi)/(n+1)!)(x - a)^(n+1)，其中 xi 介于 a 与 x 之间。诚实地使用泰勒定理总要带上这个误差项；丢掉它就把一个定理变成了一厢情愿。