柯西中值定理

想象两位旅人在同一段时间窗内各自沿自己的路线奔跑。普通中值定理是拿一位旅人的进度与时钟相比。柯西的版本则改为把两位旅人彼此相比，并找到一个瞬间，使他们的速度之比恰等于他们总位移之比。

陈述：若 f 与 g 在 [a, b] 上连续、在 (a, b) 上可微，则存在 c 属于 (a, b)，使 (f(b) - f(a)) g'(c) = (g(b) - g(a)) f'(c)。当 g(b) 不等于 g(a) 且 g'(c) 不为 0 时，可整理为 (f(b) - f(a)) / (g(b) - g(a)) = f'(c) / g'(c)——导数之比等于总变化量之比。取 g(x) = x 即还原为普通中值定理。

标准证明是对辅助函数 h(x) = (f(b) - f(a)) g(x) - (g(b) - g(a)) f(x) 应用罗尔定理，它满足 h(a) = h(b)；于是 h'(c) = 0 恰是所要的断言。注意对称的乘积形式无需任何不为零的假设，而分式形式要求 g(b) 不等于 g(a)；把它写成对两个函数共用同一个 c（而非两个不同的点），正是该定理威力之所在。