中值定理

一趟公路旅行在一小时内平均时速 60 英里，常识告诉你：在某个单一瞬间，你的速度表读数必定恰为 60。你的平均速度在途中某处被实现为瞬时速度。中值定理就是这种确定性的严格形式。

陈述：若 f 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 上可微，则存在 c 属于 (a, b)，使 f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。从几何上看，某处的切线平行于过端点的割线。证明：减去那条割线，构造 g(x) = f(x) - [f(a) + ((f(b) - f(a))/(b - a))(x - a)]；则 g(a) = g(b)，由罗尔定理得 g'(c) = 0，整理即得结论。

中值定理是微分学的主力，远不只是趣谈：它是从导数的局部值通往函数整体行为的桥梁。由它可推出：在区间上导数为零的函数是常数，两个原函数相差一个常数，以及各种单调性判别法和关键的误差估计。与罗尔定理一样，它只断言某个 c 存在，而不指明是哪一个。