严格的微分理论
递增函数判别法
如果你每一瞬间的速度都为正，你就一直向前、绝不倒退——于是你的位置随时间递增。递增函数判别法正是把这种直觉严格化：在一个区间上斜率始终为正的函数，必在整个区间上递增。
陈述：设 f 在区间 I 上连续，在其内部可微。若对所有内部的 x 都有 f'(x) > 0，则 f 在 I 上严格递增；若处处 f'(x) >= 0，则 f 不减（而 f'(x) <= 0 给出不增，f'(x) = 0 给出常数）。证明是中值定理的直接应用：对 I 中任意 a < b，有 f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)（某个 c），而 f'(c) 的符号控制 f(b) - f(a) 的符号。
两点诚实的微妙之处。其一，严格递增并不要求处处 f' > 0——f(x) = x^3 严格递增却有 f'(0) = 0，所以导数为正对于严格单调是充分而非必要条件。其二，区间至关重要：该判别法在一个连通区间上断定单调性，而非在不连通的定义域上；在后者，每一片上 f' > 0 并不给出各片之间的任何关系。
f(x) = x^3 有 f'(x) = 3x^2 >= 0，且 f'(0) = 0 是唯一的零点；尽管如此，f 在整个 R 上严格递增——单独一个零斜率点并不能阻止上升。
导数为正迫使递增；反方向则容许孤立的平坦点。
一个允许孤立零点的、关于严格递增的简洁充分条件：若在区间上 f' >= 0，且 f' = 0 仅在孤立点处成立（即 f' 不在任何子区间上恒为零），则 f 仍严格递增。
又称
另见