费马定理（驻点）

在山顶的最高处，地面一时是平的：朝任一方向迈出极小一步都会下坡，所以恰在山峰处坡度为零。费马定理把这幅图景精确化：一个在定义域内部取到最高点或最低点的光滑函数，在那里必有零斜率。

陈述：若 f 定义在一个区间上，在内点 c 处取得局部极大或局部极小，且在 c 处可微，则 f'(c) = 0。证明梗概：在局部极大处，对小的 h > 0 差商 (f(c + h) - f(c)) / h 不超过 0，对小的 h < 0 不小于 0；由于 f 可微，两个单侧极限一致且都等于 f'(c)，从而迫使 f'(c) = 0。

三个假设都各有用处，去掉任何一个都会使结论失效。极值必须在内部：在 [0, 1] 上 f(x) = x 的最大值在端点 x = 1 处取得，且 f'(1) = 1 而非 0。函数必须在 c 处可微：f(x) = |x| 在 0 处取极小却无导数。而逆命题为假——f'(c) = 0 并不保证是极值，如 f(x) = x^3 在 0 处所示。