罗尔定理

把球竖直向上抛：它离开你的手，之后又回到同一高度。中间某处它必定停止上升、转而下落，在那一瞬间它的竖直速度为零。罗尔定理就是把这个日常事实陈述给任何起止取同一值的光滑函数。

陈述：若 f 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 上可微，且 f(a) = f(b)，则在 (a, b) 中至少存在一点 c 使 f'(c) = 0。证明：由极值定理，f 在 [a, b] 上取到最大值与最小值；若二者都在端点取得，则 f 为常数且处处 f' = 0，否则某个极值落在内部，费马定理给出该处 f'(c) = 0。

每个假设都不可或缺。若内部不可微，[-1, 1] 上的 f(x) = |x| 满足 f(-1) = f(1)，却没有导数为零的点。若在端点处不连续，结论同样可能失效。该定理只承诺至少存在一个这样的 c；它不告诉你 c 在哪里，也不告诉你有多少个。