单调序列

单调序列只朝一个方向运动。想象一位徒步者，他要么从不下坡，要么从不上坡：单调序列随着索引前进要么从不减小，要么从不增大。它可以在高原上停留（重复某个值），却从不掉头。

正式地说，若对一切 n 有 a_n <= a_{n+1}，则称 (a_n) 递增；若对一切 n 有 a_n >= a_{n+1}，则称其递减；两种情形都称为单调。当不等号严格成立（a_n < a_{n+1} 或 a_n > a_{n+1}）时，序列称为严格递增或严格递减。“不减”一词常作为递增的同义语，以强调允许相邻项相等。

单调性之所以可贵，在于它驯服了极限的桀骜。对一般序列，你必须排除振荡才能证明收敛，但单调序列无法振荡——它只能稳步上升、稳步下降或趋于平稳。再配上有界性，便径直逼出收敛，这正是单调收敛定理的内容。