单调收敛定理

这条定理说，一个只往上爬却被天花板压住的序列，除了升到那天花板的最低可能值之外无处可去。直观上，一个无法向上逃逸的递增序列必定堆挤在它最紧的上界处——而那个堆挤点就是它的极限。

确切地说：每个有上界的递增序列都收敛，其极限等于其取值集合的上确界；对偶地，每个有下界的递减序列都收敛到其取值的下确界。所以对单调序列而言，有界恰好等价于收敛——这是极限理论中难得干净的“当且仅当”。

这条定理是实数完备性的直接推论：正是上确界的存在（由最小上界性质保证）提供了那个极限。事实上在有理数中这一陈述是假的，因为一个有界递增的有理数序列，其上确界可能恰好落在某个不属于有理数的无理数上。这是说明完备性为何要紧的最干净的例证之一。