麦克劳林级数

麦克劳林级数不过是决定在原点扎营的泰勒级数。这里没有新概念——它是中心取在点 a = 0 这一特殊且最常见的情形。你背诵的大多数著名展开式(e^x、sin x、cos x)都是麦克劳林级数。

形式上,光滑函数 f 的麦克劳林级数是 sum_{n=0}^无穷 f^{(n)}(0)/n! x^n = f(0) + f'(0) x + f''(0)/2! x^2 + ...。以零为中心简化了每一项:不再是 (x - a) 的幂,而是 x 的纯幂,系数则是在方便的点 0 处求值的导数。

这一名称纪念科林·麦克劳林,尽管其构造完全是泰勒在 a = 0 时的做法。所有相同的警告依然适用:写出麦克劳林级数并不保证它收敛到 f。标准的指数与三角级数对所有实数 x 都收敛到对应函数,这恰恰是它们如此有用的原因,但这是需要证明而非默认的事实。