柯西-阿达马定理

收敛半径到底有多大?柯西-阿达马定理用一个完全普适的公式给出答案。它考察系数增长得多快——用其 n 次方根来度量——并直接读出半径。无需逐个判别法地猜测:一个公式,永远正确。

定理表述:对 sum c_n (x - a)^n,令 L = limsup_{n->无穷} |c_n|^{1/n}。则收敛半径为 R = 1/L,约定当 L = 0 时 R = 无穷,当 L = 无穷时 R = 0。之所以出现上极限(而非普通极限),是因为 |c_n|^{1/n} 未必收敛;上极限捕捉的是最大的持续增长率,而这正好掌控着各项的最坏情形行为。

这比比值判别法更强大:后者使用 |c_{n+1}/c_n| 的极限,且仅当该极限存在时才有效。基于根值的上极限在扩展实数中总是存在,因此柯西-阿达马公式对每个幂级数都无例外地给出 R。当比值极限确实存在时,它与根值结果一致,故只要适用,较简单的比值判别法是有效的捷径。