通项判别法

通项判别法是第一件要检查的事，它唯一诚实的职责是揪出失败者：若一个级数的各项不趋向零，则该级数绝无可能收敛。它是一个快速的淘汰工具，而非通往收敛的护照。

确切地说：若 sum a_n 收敛，则 a_n -> 0。取其逆否命题即得可用形式——若 a_n 不趋向 0（或趋向非零极限，或根本没有极限），则 sum a_n 发散。证明只需一行：a_n = s_n - s_{n-1}，若 s_n -> S，则 a_n -> S - S = 0。

至关重要的告诫，对每个学生反复强调：其逆命题不成立。条件 a_n -> 0 对收敛是必要而非充分的。调和级数 sum 1/n 的各项趋于 0 却发散。因此当判别法显示 a_n -> 0 时，它什么也没告诉你——判别法此时无效，你必须动用更强的工具，例如比较、比值、根值或积分判别法。