微积分基本定理

求导度量瞬时变化率;积分累积总变化量。基本定理说这两种运算互为逆运算:累积一个变化率再求导,会把变化率还回来;对一个量求导再累积它的变化率,会返回净变化。这正是你能仅靠倒转一个导数来计算困难面积的原因。

它有两部分。第一部分说:若 f 在 [a, b] 上连续,且 F(x) 是 f 从 a 到 x 的积分,则 F 可导且 F'(x) = f(x):至今为止的面积函数求导后回到被积函数。第二部分(求值法则)说:若 g 是黎曼可积函数 f 的任一原函数,在 [a, b] 上 g' = f,则 f 从 a 到 b 的积分等于 g(b) - g(a)。

假设很重要且常被含糊带过。第一部分需要 f 在所论点处连续,才能在那里断言可导;在跳跃间断点处面积函数连续却不可导。第二部分不要求 f 连续,只要它黎曼可积且处处有原函数——但要当心:并非每个黎曼可积函数都有原函数,也并非每个有原函数的函数都黎曼可积,所以这两部分是真正分立的陈述。