原函数

原函数回答这样一个问题:哪个函数以它为导数?如果导数告诉你汽车每一瞬间的速度,原函数就重建它的位置。倒转求导,是通过基本定理求值积分背后核心的计算诀窍。

形式地说,F 是 f 在区间 I 上的原函数,如果 F 在 I 上可导且对所有 x 属于 I 都有 F'(x) = f(x)。原函数从不唯一:若 F 是其一,则对任意常数 C,F + C 也是;而在连通区间上这些就是全部,因为导数相等的两个函数相差一个常数(中值定理的推论)。

拥有原函数与可积是不同的性质。一个函数可以有原函数却不连续——达布定理说任何导数都具有介值性质,所以导数可以相当狂野却仍是某函数的原函数。反之,一个可积函数可能没有任何原函数;例如带跳跃的阶梯函数不可能是任何函数的导数,因为导数从不跳跃。