达布定理

你也许期望一个本身就是导函数的函数会相当温顺。出人意料的是，导函数可以不连续——但它绝不会跳跃。达布定理揭示出：导函数无论多么狂野，始终遵守介值性质：即便不连续，它也不能跳过中间的值。

陈述：若 f 在区间 [a, b] 上可微，则导函数 f' 取到 f'(a) 与 f'(b) 之间的每一个值。即对严格介于 f'(a) 与 f'(b) 之间的任何 y，存在 c 属于 (a, b)，使 f'(c) = y。值得注意的是，这一结论无需假设 f' 连续——介值定理通常要求连续，而导函数无偿地获得了这一性质。

其推论是一个尖锐的结构限制：导函数不可能有跳跃间断。所以像阶梯函数（它会跳跃）这样的函数不是任何函数的导函数。这解释了为何导函数仅可能出现更狂野的振荡型间断（本性间断），如 x^2 sin(1/x) 的导函数。证明考虑 g(x) = f(x) - yx，它有内部极值，再对其应用费马定理推出 g'(c) = 0。