函数的极限与连续性
跳跃间断
想想一段台阶,或一个在钟敲正午那一刻立即上调的价格。从此刻之前趋近,数值通向一处;从此刻之后趋近,则通向另一个值。函数跨越一道缝隙一跃而过——这道缝隙就是跳跃间断。
形式上,f 在 a 处有跳跃间断,是指两个单侧极限都存在且有限但不相等:lim_{x->a-} f(x) = L1,lim_{x->a+} f(x) = L2,且 L1 不等于 L2。跳跃的大小是 |L2 - L1|。无论 f(a) 取何值,都无法弥补这道断裂,因为左右趋近彼此不一致。
跳跃间断属于第一类间断,与可去间断不同,它无法靠重新定义单个值来修复。一个值得记住的干净结论:单调函数只能有跳跃间断(其单侧极限总存在),而且至多有可数无穷多个——因此它的间断点集尽管可能无穷,却绝不会大到像一个区间那样。
亥维赛阶跃函数 H(x):x < 0 时取 0,x >= 0 时取 1,在 0 处有跳跃间断:lim_{x->0-} H = 0,而 lim_{x->0+} H = 1,跳跃大小为 1。
有限的单侧极限不相等:大小为 1 的跳跃。
又称
另见