多元分析
逆函数定理
若一个光滑映射在某点最佳的线性逼近是可逆的——它拉伸空间却不压垮任何方向——那么映射本身（至少在附近）就能被还原。直觉如此：导数的可逆性，一个纯线性代数的条件，足以保证整个非线性映射在局部是干净的双向对应。
精确地说：设 f: R^n -> R^n 在某开集上连续可微（C^1），并设在点 a 处雅可比矩阵 Df(a) 可逆（等价地，其行列式非零）。则存在 a 的开邻域 U 与 f(a) 的开邻域 V，使 f 把 U 双射到 V，逆映射 f^{-1}: V -> U 也是 C^1，且 D(f^{-1})(f(a)) = (Df(a))^{-1}。
两点诚实的告诫。结论严格是局部的：即使每点的导数都可逆，整体映射仍可能是多对一的——例如一个映射可把某区域卷绕并自我重叠。且假设是充分而非必要的：映射可在导数奇异之处仍可逆，但那时逆映射不必可微。
f(x, y) = (e^x cos y, e^x sin y) 的雅可比行列式为 e^{2x}，恒不为零，故 f 处处局部可逆。但它并非整体单射：f(x, y) = f(x, y + 2pi)。处处导数可逆，整体映射却多对一。
处处局部可逆未必给出整体可逆。
另见