方向导数

偏导数问：若你沿坐标轴行进，函数变化多快。方向导数则去掉了这个限制：随意挑一个方向——东北，或任意罗盘指向——问你朝那走时函数变化多快。它是函数沿过该点的任意一条直线的斜率。

严格地说，f 在 a 处沿单位向量 u 方向的方向导数，是 (f(a + t u) - f(a))/t 当 t -> 0 时的极限，常记作 D_u f(a)。偏导数是 u 取坐标向量 e_i 的特例。该定义把多元变化率化归为沿直线 t -> a + t u 的普通一元导数。

若 f 在 a 处可微，则所有方向导数都存在，并服从简洁公式 D_u f(a) = grad f(a) . u——它们对方向是线性的。但要当心：一个函数可以在某点沿每个方向都有方向导数，却仍在该点不可微，甚至不连续。方向导数存在比可微更弱。