泛函分析
线性泛函
线性泛函是向量空间上最简单的一种测量：它吃进一个向量、返回单个数，且尊重加法与缩放。对一个函数求平均、读出某个坐标、对固定权重作积分——这些都是线性泛函。它们是构筑对偶空间以及整套对偶机器的砖块。
严格地说，标量域上向量空间 V 上的线性泛函是一个映射 f : V -> 标量，对所有向量 x, y 与标量 a, b 满足 f(a x + b y) = a f(x) + b f(y)。当 V 赋范时，若对某常数 M 有 |f(x)| <= M ||x||，则称 f 有界，亦即连续；最小的这种 M 是范数 ||f||，而有界泛函恰是对偶空间 V* 的成员。
在有限维中每个线性泛函都自动连续，故那里此区别是空洞的。在无穷维中则不然：不连续的线性泛函确实存在（其构造需要哈梅尔基与选择公理），且无法直接构造出来。几何上，水平集 f(x) = 0 是一张超平面，而 f 连续当且仅当该超平面是闭的而非稠密的。
在 C[0, 1] 上，求值泛函 f -> f(1/2) 线性且有界：|f(1/2)| <= max|f| = ||f||，故 ||求值|| = 1（取 f = 1）。定积分 f -> 从 0 到 1 对 f 的积分 是另一个有界泛函，范数也为 1。两者都属于 C[0, 1] 的对偶。
在一点求值与定积分：C[0, 1] 上两个有界泛函，范数均为 1。
一个线性泛函完全由它的核连同它在核外某一向量处的取值决定；核相同的两个泛函互为标量倍。这正是为何 f 的连续性可归结为关于一张超平面是否闭的单一几何问题。
另见