有界线性算子
有界线性算子是赋范空间之间的线性映射，它从不把距离放大超过某个固定的倍数。可把它想成一台机器，吸入向量、吐出向量，尊重加法与缩放，并带有一个保证的最大放大率：没有任何输入会被拉伸到超过它长度的某个有限倍。
确切地说，设 X 与 Y 是赋范空间，T : X -> Y 线性，即 T(a x + b y) = a T x + b T y。若存在常数 M 使对所有 X 中的 x 有 ||T x|| <= M ||x||，则称 T 有界。最小的这种 M 就是算子范数 ||T||。关键事实是：对线性映射而言，有界恰好等同于连续——线性的 T 连续当且仅当它有界，且此时它甚至是一致连续与利普希茨的。
当心术语：这里的“有界”并不是说像是有界集——一个非零线性映射会把整个无界空间映到无界的像上。它指的是在单位球上有界，即拉伸因子有一致的上界。在无穷维中，无界（不连续）的线性映射确实存在，例如多项式空间上的微分，故有界是一个真正的假设，而非自动成立。
积分 T f = 从 0 到 1 对 f 的积分是 C[0, 1] 上的有界泛函：|T f| <= integral |f| <= max|f| = ||f||，故 ||T|| <= 1（实际上 = 1，由 f = 1 达到）。然而微分 D f = f' 无界：取 f_n(x) = sin(n x)/n，则 ||f_n|| = 1/n -> 0，而 ||D f_n|| = ||cos(n x)|| = 1，故没有任何有限的 M 行得通。
积分有界；微分是经典的无界算子。
为何有界与连续仅对线性映射等价？线性使你能把原点处的单个界限搬到处处：若 T 在 0 处连续则处处连续，而在 0 处连续意味着小输入给出小输出，这恰是一个拉伸界。非线性映射缺乏这种齐次性，故对它们二者分道扬镳。