泛函分析
算子范数
算子范数回答关于一个线性映射的单一问题：最坏情形的拉伸有多大？把每个长度为一的向量喂给该映射，观察输出有多长；算子范数就是这些输出长度的上确界。它是最大放大因子，一个总结算子能多强烈地放大的数。
对赋范空间之间的有界线性算子 T : X -> Y，算子范数为 ||T|| = 在 ||x|| <= 1 上 ||T x|| 的上确界，等价地是非零 x 上 ||T x||/||x|| 的上确界，也等价于使对所有 x 都有 ||T x|| <= M ||x|| 的最小常数 M。由定义即可读出处处使用的基本估计 ||T x|| <= ||T|| ||x||，以及对可复合算子的次乘性 ||S T|| <= ||S|| ||T||。
这个范数使从 X 到 Y 的有界算子全体本身成为一个赋范向量空间；当目标 Y 完备（是巴拿赫空间）时，该算子空间也完备。注意上确界未必能达到——可能没有任何单位向量实现最大拉伸——这是无穷维与有限维情形相异的微妙之处之一，后者最大值总能实现。
在 l^2 上令 T 把第 n 个坐标乘以 1 - 1/n：(T x)_n = (1 - 1/n) x_n。则恒有 ||T x|| <= ||x||，而用单个基向量 e_n 得 ||T e_n|| = 1 - 1/n -> 1，故 ||T|| = 1。然而没有任何单位向量使输出长度达到 1——上确界被逼近却从不达到。
一个范数为 1 的算子，其上确界从未被任何单位向量达到。
对作用在欧几里得空间上的矩阵 A，算子范数等于 A 的最大奇异值——A 把单位球面变成的椭球的最长半轴。这一几何图景正是带入无穷维的恰当直觉。
另见