算子与谱理论
谱半径
谱半径回答一个简单的问题：谱向外伸到多远？它是以原点为心、包含整个谱的最小圆盘的半径。它支配长期增长：粗略地说，反复施加算子会按这个半径所支配的因子放大，正因如此它出现在稳定性分析和迭代格式中。
对复巴拿赫空间上的有界算子 T，谱半径为 r(T) = sup{ |lambda| : lambda 属于 sigma(T) }。它以算子范数为上界，r(T) <= ||T||，但可以严格更小。基本的 Gelfand 公式给出 r(T) = lim ||T^n||^{1/n}（n -> 无穷，此极限总存在），把一个谱量与幂的增长联系起来。
对正规算子（特别是自伴或酉算子）等号成立：r(T) = ||T||。但一般而言不等式是严格的；非零幂零矩阵 N（满足 N^2 = 0）的谱为 {0}，故 r(N) = 0 而 ||N|| > 0。所以谱半径小并不意味着范数小，只意味着高次幂最终在 n 次方根意义下收缩。
取 N = [0, 1; 0, 0]（右上角为单个 1 的 2x2 矩阵）。则 sigma(N) = {0}，故 r(N) = 0，而 ||N|| = 1。确实 N^2 = 0，故对 n >= 2 有 ||N^n||^{1/n} = 0，与 Gelfand 公式吻合。
谱半径为零、范数为一：一个幂零算子。
另见