自伴算子

自伴算子是对称（厄米）矩阵在无穷维中的对应物——并继承了一切良好性质：实特征值、正交的特征向量、干净的对角化。正因为它们的谱（可测的取值）是实的，它们才成为量子力学中刻画物理可观测量的算子。

在带内积 <.,.> 的希尔伯特空间 H 上，有界算子 T 自伴，若它等于自身的伴随：对一切 x, y 属于 H 有 <T x, y> = <x, T y>，即 T = T*。此时它的谱是实轴上的一个非空紧子集，且没有剩余谱。数值域 <T x, x> 对每个 x 都是实数，这正是谱为实的根源。

对无界算子必须格外小心：“对称”（指在定义域上 <T x, y> = <x, T y>）严格弱于“自伴”，因为自伴还要求 T 的定义域等于其伴随 T* 的定义域。对称算子可能不是自伴的，二者之差由亏指数刻画。谱定理只对真正自伴的算子全力适用，而非仅仅对称的算子。