正规算子

正规算子是与自身镜像——伴随算子——“合得来”的算子：二者交换。这一条代数条件，恰是算子能被某个标准正交基（或更一般地被谱测度）对角化所需的全部。自伴算子、酉算子和正算子都是正规算子的特例。

在希尔伯特空间上，有界算子 T 正规，若它与其伴随交换：T T* = T* T。等价地，对一切 x 有 ||T x|| = ||T* x||。正规算子这一类，正是谱定理以其最强形式成立的那一类：每个正规算子都酉等价于某个 L^2 空间上对某（复值）函数的乘法算子。

正规性允许复特征值，却仍保证特征向量正交。自伴指 T = T*（实谱）；酉指 T* = T^{-1}（谱在单位圆上）；二者都自动满足 T T* = T* T。需要诚实指出：非正规算子的谱可以完全正常，却彻底无法对角化——其特征向量可能张不成全空间，且可能严重不正交。