谱定理

谱定理是“对称矩阵可被标准正交基对角化”的宏大推广。它说，希尔伯特空间上最良好的算子——自伴的，或更一般地正规的——在换一个视角之后，无非就是对某个函数的乘法。在有限维中如此干净的对角化，借助对谱测度积分的语言，存活进了无穷维。

其紧形式为：紧自伴算子 T 有一组由特征向量组成的标准正交基，且 T x = sum lambda_n <x, e_n> e_n，实特征值 lambda_n 趋于 0。其一般（有界）形式为：每个有界正规算子 T 都酉等价于某个 L^2(mu) 空间上对一个有界可测函数的乘法；等价地 T = ∫ lambda dE(lambda)，其中 E 是支撑在谱上的唯一投影值谱测度。

玄机在于真正的特征向量可能不存在——可能没有任何非零向量被算子仅仅缩放。连续谱不靠对特征值求和处理，而靠对投影值测度 E 积分，该测度把谱的每个博雷尔子集映为一个正交投影。这正是“对角化”在不存在特征基时仍然延续的确切含义，也是函数演算的严格基础。