连续谱

连续谱刻画了一种算子不可逆的方式，它在有限维中没有对应物。没有特征向量——你无法精确求解 T v = lambda v——但你能任意逼近：存在“近似特征向量”，算子几乎把它缩放 lambda 倍。逆在稠密集上形式地存在，却无法被弄成有界。

在一种标准分解中，lambda 落在 T 的连续谱里，若 T - lambda*I 是单射（无特征向量）且值域稠密（故逆定义在稠密集上），但该逆无界（故 T - lambda*I 不是有界可逆，因而 lambda 在谱中）。这样的 lambda 有一列近似特征向量：单位向量 x_n 满足 ||(T - lambda*I) x_n|| -> 0。

对没有特征值的算子，连续谱是典型的——乘法算子与移位算子是原型。关于术语的一点告诫：分解谱有若干互不等价的约定（上述“单射且值域稠密”的定义，与谱定理中所用谱测度的测度论“连续部分”），所以务必弄清作者所指的是哪种分解。