谱

在有限维中，一个矩阵由它的特征值刻画——也就是它仅仅沿之伸缩的那些特殊缩放因子。谱正是把这份特征值清单恰当地推广到无穷维空间，在那里算子可能因为比“存在非零零向量”更微妙的原因而不可逆。可以把它想成算子以某种方式变得“奇异”的全体标量。

设 T 是复巴拿赫空间 X 上的有界线性算子。谱 sigma(T) 是使算子 T - lambda*I 在 X 上没有有界逆的全体复数 lambda，其中 I 是恒等算子。它的补集，即 T - lambda*I 有界可逆之处，称为预解集。对非零复巴拿赫空间上的有界算子而言，谱总是复平面的一个非空紧子集，且包含在半径等于算子范数的闭圆盘内。

一个常见错误是把谱等同于特征值。每个特征值都落在谱中，但在无穷维里，谱可以含有根本不是特征值的点：T - lambda*I 可能是单射却不是满射，或没有有界逆。谱可分解为点谱（真正的特征值）、连续谱和剩余谱，各自描述可逆性失效的不同方式。