预解算子

当 lambda 不在谱中时，方程 (T - lambda*I)x = y 可以唯一地用 y 解出 x，而这个求解运算本身是一个有界算子。这个求解算子就是预解算子。它正是在算子表现良好之处存在的显式逆，而它对 lambda 的解析依赖，是几乎全部谱理论背后的引擎。

对预解集中的 lambda，定义 R(lambda) = (lambda*I - T)^{-1}（符号约定因书而异）。预解算子是有界算子，作为 lambda 的函数，它在预解集上是解析的（算子值意义下的全纯）。它满足预解恒等式 R(lambda) - R(mu) = (mu - lambda) R(lambda) R(mu)，这刻画了逆如何随参数变化，并表明 R 在不同参数处彼此交换。

由于 R(lambda) 在谱之外解析，且当 lambda 趋近谱时必然爆破，复分析工具——柯西定理、刘维尔定理、幂级数——便可直接搬到算子上。正是借此可证明谱非空，并通过把函数对预解算子积分来构造全纯函数演算。