函数演算

函数演算是把算子代入函数的技艺。正如你可以对矩阵求平方或求指数，函数演算让你对一整类函数 f——平方根、指数、示性函数——以一种自洽的方式构造 f(T)：函数之和对应算子之和，乘积对应乘积，常函数 1 对应恒等算子。它把抽象算子变成你可以在其谱上像数一样操作的对象。

最简单的版本是多项式的：对 p(t) = sum a_k t^k，置 p(T) = sum a_k T^k。这分阶段推广。全纯函数演算通过把 f(lambda) 对预解算子作柯西型积分，对在谱的邻域上解析的 f 定义 f(T)。对正规（或自伴）算子，连续与博雷尔函数演算走得更远，借助投影值谱测度，为谱上每个连续函数、进而每个有界博雷尔函数定义 f(T)。

其指导原则——谱映射定理——说 sigma(f(T)) = f(sigma(T))：f(T) 的谱恰是把 f 作用于 T 的谱。这正是函数演算如此强大的原因——它把算子问题化归为关于一个限制在谱（一组数）上的函数的普通问题。它正是为正算子定义 sqrt(T)、或为时间演化的自伴生成元定义 e^{itT} 背后的严格机器。