正算子

正算子是非负数的算子对应物：它绝不把向量送到相对自身“朝后”的方向。从几何上看，算子与向量总成非钝角，故内积 <T x, x> 从不为负。这些恰是拥有平方根、并能写成某个 T 的 T* T 形式的算子。

在复希尔伯特空间上，有界算子 T 是正的（半正定的），若它自伴且对一切 x 有 <T x, x> >= 0。（在复空间上，对一切 x 的条件 <T x, x> >= 0 已迫使 T 自伴，故自伴性在那里自动成立；在实空间上则须假设之。）等价地，T 是正的当且仅当它自伴且谱含于 [0, 无穷)。

每个正算子都有唯一的正平方根，即满足 S^2 = T 的正算子 S，记作 T^{1/2}。反之，对任意有界算子 A，算子 A* A 总是正的；其平方根 |A| = (A* A)^{1/2} 是极分解 A = U|A| 中所用的“绝对值”。须当心：这里“正”指 >= 0（半正定）；严格正／正定还要求对非零 x 有 <T x, x> > 0，这是更强的条件。