内积
内积是让向量空间记住角度的装置。熟悉的点积 u · v = u_1 v_1 + u_2 v_2 + ... 是原型：它通过 <v, v> = |v|^2 计算长度，通过 u · v = 0 检测垂直。抽象的内积把同样的能力——长度、角度、投影——带到函数与序列构成的空间。
在实数域上，内积是一个对称双线性形式 <·, ·>，且正定：<x, x> >= 0，等号仅当 x = 0 时成立。在复数域上，它是半双线性的——对一个变量线性、对另一个变量共轭线性——且共轭对称，<x, y> = conjugate(<y, x>)，对非零 x 同样有 <x, x> > 0。无论哪种情形，它都诱导范数 ||x|| = sqrt(<x, x>)，而向量间夹角由 <x, y> = ||x|| ||y|| cos(theta) 读出。
最重要的单一推论是柯西–施瓦茨不等式 |<x, y>| <= ||x|| ||y||，它保证角度公式有意义（余弦保持在 [-1, 1] 内），并由它导出诱导范数的三角不等式。满足 <x, y> = 0 的两个向量称为正交，而正交性是希尔伯特空间理论的几何引擎。
在 l^2 上内积为 <x, y> = sum over n of x_n conjugate(y_n)。取 x = (1, 1/2, 1/4, ...) 与 y = (1, -1/2, 1/4, ...)，则 <x, y> = 1 - 1/4 + 1/16 - ... = 1/(1 + 1/4) = 4/5，这是一个收敛级数，因为柯西–施瓦茨把它界于 ||x|| ||y|| < 无穷 之内。
两个平方可和序列的 l^2 内积，由柯西–施瓦茨保证收敛。
复情形中的复共轭并非吹毛求疵：正是它使 <x, x> 保持实数且非负，从而 ||x|| = sqrt(<x, x>) 有意义。关于哪个位置线性，约定各异；物理文献通常令第二个变量线性，数学文献则令第一个。