泛函分析
正交补
给定一个子空间，它的正交补是与之垂直的一切——你可以沿之移动而不扰动子空间中任何向量的那些方向。在 R^3 中，过原点平面的正交补是与之垂直的法线。这种分解为子空间及其垂直方向的方式，是把希尔伯特空间拆成独立部分的最干净办法。
对希尔伯特空间 H 的子集（通常是子空间）M，正交补为 M-perp = { x 属于 H : 对所有 m 属于 M 有 <x, m> = 0 }。无论 M 是什么，M-perp 总是一个闭线性子空间，因为与固定向量正交是一个连续的线性条件。当 M 本身是闭子空间时，H 分裂为直和 H = M (+) M-perp：每个向量唯一地分解为 M 中的一部分加上 M-perp 中的一部分。
须留意一处微妙：双重正交补 M-perp-perp 等于 M 的闭包，而非 M 本身，因此两次取补仅当 M 已是闭的时才还原 M。对非闭子空间，你只能取回它的闭包。这正是“闭”的告诫，使“闭”成为贯穿希尔伯特空间几何的反复出现的假设。
在 L^2[-pi, pi] 中令 M 为偶函数（f(-x) = f(x)）构成的闭子空间。它的正交补 M-perp 是奇函数，因为在对称区间上（偶）(奇) 的积分为 0。任意 f 都唯一分裂为 f_even(x) = (f(x) + f(-x))/2 加 f_odd(x) = (f(x) - f(-x))/2，即正交分解。
偶函数与奇函数互为对称区间 L^2 内的正交补。
即便 M 不闭，M-perp 也自动闭——这一事实确有用处：它给出求任意子空间闭包的捷径，因为 closure(M) = M-perp-perp。正交补在闭子空间的格上表现得像一种整洁的逻辑否定。
另见