泛函分析
希尔伯特空间
希尔伯特空间是欧几里得空间的全部几何——长度、角度、垂直、勾股定理——即使在无穷多维中也完好保存的场所。它在巴拿赫空间之外多出的成分是内积，使你不仅能问一个向量有多长，还能问两个向量相对取向如何。它是傅里叶分析与量子力学的天然居所。
确切地说，希尔伯特空间是一个内积空间（带有内积 <x, y> 的向量空间），它关于由内积诱导的范数 ||x|| = sqrt(<x, x>) 完备。这里的完备性与巴拿赫空间相同：每个柯西序列都在空间内收敛。因此希尔伯特空间恰是范数来自内积的巴拿赫空间。
并非每个范数都源自内积；源自内积的那些以平行四边形律 ||x + y||^2 + ||x - y||^2 = 2||x||^2 + 2||y||^2 为特征。当它成立时，内积可由范数经极化恒等式恢复，正交性的丰富工具随之解锁：标准正交基、到闭子空间的正交投影、以及每个连续泛函的里斯表示。典范例子是 l^2，即平方可和序列，R^n 的无穷维类比。
带内积 <f, g> = integral f(x) conjugate(g(x)) dx 的空间 L^2[-pi, pi] 是希尔伯特空间。函数 e_n(x) = exp(i n x)/sqrt(2 pi) 构成一组标准正交基，把 f 按此基展开恰是它的傅里叶级数——把无穷维几何变成了计算工具。
L^2 配以复指数：其标准正交基即傅里叶级数的希尔伯特空间。
所有可分的无穷维希尔伯特空间都与 l^2 等距同构——本质上只有一个。这种刚性是希尔伯特空间所独有的；巴拿赫空间则种类繁多而狂野，没有这样的分类。
另见