泛函分析
标准正交基
标准正交基是希尔伯特空间的完美坐标系：一组单位长度、两两垂直的向量，丰富到空间中每个向量都能由它沿这些方向的投影重建。它推广了 R^n 的标准坐标轴——要找某个坐标，你只需投影到对应的轴上，无需求逆矩阵，毫不费力。
希尔伯特空间 H 中的一族 {e_k} 称为标准正交的，若 <e_j, e_k> 在 j = k 时为 1、其余为 0。若它还完备——唯一与全体正交的向量是 0，等价地它们的有限线性组合在 H 中稠密——则它是一组标准正交基。此时 H 中每个 x 都展开为 x = sum over k of <x, e_k> e_k，级数依范数收敛，系数由简单的投影给出。
关键在于，无穷维中标准正交基并不是代数（哈梅尔）意义下的基——你确实需要无穷和，而非仅有限组合。完备性还等价于帕塞瓦尔恒等式 ||x||^2 = sum over k of |<x, e_k>|^2，即无穷维的勾股定理，它说明在转入坐标时没有长度被丢失。希尔伯特空间拥有可数标准正交基，当且仅当它可分。
在 l^2 中，第 k 位为单个 1 的向量 e_k = (0, ..., 0, 1, 0, ...) 构成标准正交基。对 x = (x_1, x_2, ...)，系数正是 <x, e_k> = x_k，展开 x = sum x_k e_k 是显然的，而帕塞瓦尔即 ||x||^2 = sum |x_k|^2——这正是属于 l^2 的条件本身。
l^2 的标准基，帕塞瓦尔恒等式恰好还原了定义范数。
缺乏完备性时，这族仅是一个标准正交系，人们只得到贝塞尔不等式 sum |<x, e_k>|^2 <= ||x||^2，一个单边的界。对每个 x 都取等号，恰是升级为基。格拉姆–施密特过程能由任意无关族制造出标准正交系。
另见