傅里叶级数

想象一个和弦。耳朵听到的是一个丰满的声音，但物理学家会说它由纯音组成——一个基音和它的泛音，各有确定的响度。傅里叶级数对周期函数做的正是这件事：它把函数写成纯正弦音的叠加，即频率为基本周期整数倍的正弦与余弦。

具体地说，对于在长度为 2*pi 的区间上可积、周期为 2*pi 的函数 f，其傅里叶级数为 a_0/2 + 对 n >= 1 求和 (a_n cos(n x) + b_n sin(n x))。系数 a_n 与 b_n 即傅里叶系数，由 f 与 cos(n x)、sin(n x) 作积分得到。等价地可用复形式 对所有整数 n 求和 c_n e^{i n x}，在分析中更为简洁。

一个核心警告：写出级数是一回事，知道它等于 f 是另一回事。级数可能逐点收敛到 f，或仅在均方（L2）意义下收敛，甚至——对连续函数——也可能在某些点发散（du Bois-Reymond，1873）。所以‘f 有级数……’这个记号是关于系数的陈述，而非自动的等式。在何种假设下成立何种收敛模式，正是本学科的核心。