傅里叶级数的逐点收敛

最自然的期望是：在每个固定点 x 处，部分和 S_N(x) 安定到函数值 f(x)。这就是逐点收敛——逐点逐点地检验收敛。它比听起来更微妙，而分析学的真实历史在很大程度上就是关于它有多微妙的故事。

狄利克雷定理（1829）给出一个干净的充分条件：若 f 是 2*pi 周期函数，在 x 附近分段连续且分段单调（或更一般地有界变差），则 S_N(x) 收敛到单侧极限的平均 (f(x+) + f(x-))/2。在连续点该平均就是 f(x)；在跳跃点它是中点。迪尼判别法依据 f 在 x 附近差商的可积假设给出另一个充分条件。

现在是容易记错的警告。仅有连续性并不保证逐点收敛：du Bois-Reymond 构造了一个连续函数，其傅里叶级数在某点发散。更糟的是，柯尔莫哥洛夫（1923）构造了一个可积函数，其傅里叶级数处处发散。补救的结果是卡尔松定理（1966）：若 f 属于 L2（或仅属于 p > 1 的 L^p），则其傅里叶级数几乎处处收敛到 f——但对一般的此类 f，‘几乎处处’是能宣称的最佳结果，而非‘处处’。