傅里叶与调和分析
狄利克雷核
要研究傅里叶级数是否累加到 f，把部分和压缩成单个积分会很有帮助。狄利克雷核正是做这件事的工具：它是你沿之滑动、并把 f 与之作积分以读出某点处第 N 个部分和的函数。
确切地说，D_N(t) = 对 n 从 -N 到 N 求和 e^{i n t} = sin((N + 1/2) t) / sin(t/2)。于是 f 的傅里叶级数第 N 个部分和等于卷积 (1/(2*pi)) 在 [-pi, pi] 上 integral of f(x - t) D_N(t) dt。这样关于部分和的收敛问题就变成了 N 增大时这个核如何作用的问题。
D_N 的决定性缺陷在于它并非非负：它振荡，且与变号的交叠使其 L1 范数像 (4/pi^2) log N 那样无界增长。这种 L1 爆破——即勒贝格常数——正是普通部分和会失常的原因，也是费耶尔后来用一个正的平均核取代 D_N 以驯服收敛的缘由。
D_0(t) = 1，D_1(t) = 1 + 2 cos t，D_2(t) = 1 + 2 cos t + 2 cos 2t。每个在 [-pi, pi] 上的积分都是 2*pi（只有常数项存活），故常数函数被精确重现——但 D_N 的负瓣随 N 增大而增长。
该核（以 1/(2*pi) 归一化后）积分为 1，但并非正的——这正是麻烦的来源。
另见