卷积

卷积是把两个函数混合成第三个的方法：让其一滑过另一个并累加交叠。直观地说，它是抹匀：若 g 是一个小的模糊核，则 f 与 g 的卷积是 f 的一个模糊、平滑的版本，其中每个输出值是邻近输入值的加权平均。这正是相机镜头模糊清晰图像、或滑动平均平滑含噪数据时发生的事。

形式上，f 与 g 的卷积为 (f * g)(x) = integral of f(y) g(x - y) dy。它可交换、可结合，且对加法满足分配律——其行为像一种乘法。平滑是实实在在的：与光滑核作卷积使结果至少与该核同样光滑，无论 f 多么粗糙，因为导数可以转移到光滑的因子上。

它在调和分析中担当主角源于一条恒等式：傅里叶变换把卷积变成普通的逐点乘法。即，f * g 的变换等于 f-hat 乘 g-hat。一边纠缠的积分变成另一边简单的乘积——这正是滤波、微分方程和概率（其中独立变量之和的密度是一个卷积）都在频域中变得可处理的原因。