均方收敛

逐点收敛要求部分和在每一个点都正确——这是苛刻的、逐点的标准。均方收敛要求某种更温和、更稳健的东西：f 与其部分和之间的总平方误差在一个周期上积分后趋于零。它衡量平均意义上的接近，而非处处接近。

形式上，若 (f - S_N) 的 L2 范数趋于 0，即 在 [-pi, pi] 上 integral of |f(x) - S_N(x)|^2 dx -> 0（当 N -> infinity），则 S_N -> f 均方收敛。这恰是在平方可积函数的希尔伯特空间 L2 中的收敛，其中傅里叶部分和是到前若干频率张成空间的正交投影——而正交投影永远是最佳 L2 逼近。

这里理论优美而完备，毫无逐点情形的病态。对每个 L2 中的 f，其傅里叶级数都均方收敛到 f——句号，无需额外假设。三角系是 L2 的完备标准正交基，故帕塞瓦尔等式成立，部分和是最优的。这一干净陈述的代价是：均方收敛对任何单个点都不置一词；两个均方相等的函数可能在一个测度为零的集上不同。